Ratio and Proportion

1. अनुपात (Ratio) क्या है?

दो समान प्रकार की राशियों की तुलना भाग (division) के रूप में करना अनुपात कहलाता है।

• a और b का अनुपात = a : b = a/b
• a को पूर्वपद (antecedent) और b को उत्तरपद (consequent) कहते हैं।

ध्यान दें:

• अनुपात की कोई इकाई नहीं होती।
• दोनों राशियाँ एक ही इकाई में होनी चाहिए। 2 मीटर : 50 सेमी = 200 : 50 = 4 : 1
• अनुपात में दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा या भाग देने पर अनुपात नहीं बदलता। 4 : 6 = 2 : 3

2. अनुपात के प्रकार

प्रकार	अर्थ	उदाहरण (a : b = 2 : 3)
द्विगुणित अनुपात (Duplicate)	a² : b²	4 : 9
त्रिगुणित अनुपात (Triplicate)	a³ : b³	8 : 27
अनुद्विगुणित अनुपात (Sub-duplicate)	√a : √b	√2 : √3
अनुत्रिगुणित अनुपात (Sub-triplicate)	∛a : ∛b	∛2 : ∛3
व्युत्क्रम अनुपात (Inverse)	1/a : 1/b = b : a	3 : 2
संयुक्त अनुपात (Compounded)	(a : b) और (c : d) का संयुक्त = ac : bd	(2:3) और (4:5) → 8 : 15

3. दो अनुपातों की तुलना

विधि (तिरछा गुणा): a : b और c : d में, a × d और b × c की तुलना करें।

• a × d > b × c हो, तो a : b > c : d

उदाहरण: 3 : 4 और 5 : 7 में कौन बड़ा है?
3 × 7 = 21 और 4 × 5 = 20 है। 21 > 20, इसलिए 3 : 4 बड़ा है।

4. अनुपात के आधार पर राशि का बँटवारा

विधि: अनुपात के योग से कुल राशि को भाग दें और फिर प्रत्येक भाग से गुणा करें।

उदाहरण: ₹1200 को 2 : 3 : 5 में बाँटें।
अनुपात का योग = 2 + 3 + 5 = 10
1 भाग = 1200 ÷ 10 = 120
हिस्से = 2 × 120, 3 × 120, 5 × 120 = ₹240, ₹360, ₹600

5. दो अनुपातों से तीन राशियों का अनुपात

उदाहरण: A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 हो, तो A : B : C = ?

B की संख्या समान बनानी है। 3 और 4 का LCM = 12

• A : B = 2 : 3 → (×4) → 8 : 12
• B : C = 4 : 5 → (×3) → 12 : 15

इसलिए A : B : C = 8 : 12 : 15

6. समानुपात (Proportion)

जब दो अनुपात बराबर हों, तो वे समानुपात में होते हैं।

a : b :: c : d (यानी a/b = c/d)

• a और d को बाह्य पद (extremes) कहते हैं।
• b और c को मध्य पद (means) कहते हैं।
• मुख्य नियम: a × d = b × c (बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल)

चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional)

a : b :: c : x में x = bc/a

उदाहरण: 3, 4, 9 का चतुर्थानुपाती = (4 × 9)/3 = 12

तृतीयानुपाती (Third Proportional)

a : b :: b : x में x = b²/a

उदाहरण: 4 और 6 का तृतीयानुपाती = 6²/4 = 36/4 = 9

मध्यानुपाती (Mean Proportional)

a : x :: x : b में x = √(ab)

उदाहरण: 4 और 16 का मध्यानुपाती = √(4 × 16) = √64 = 8

7. समानुपात के गुण (Componendo-Dividendo)

यदि a/b = c/d हो, तो:

गुण	सूत्र
योगानुपात (Componendo)	(a + b)/b = (c + d)/d
अंतरानुपात (Dividendo)	(a − b)/b = (c − d)/d
योगांतरानुपात (Componendo-Dividendo)	(a + b)/(a − b) = (c + d)/(c − d)
एकांतरानुपात (Alternendo)	a/c = b/d
व्युत्क्रमानुपात (Invertendo)	b/a = d/c

उदाहरण: यदि a/b = 3/2 हो, तो (a + b)/(a − b) = ?
योगांतरानुपात से: (3 + 2)/(3 − 2) = 5/1 = 5

ट्रिक: जिस प्रश्न में (a + b) और (a − b) का अनुपात पूछा जाए, वहाँ तुरंत यह सूत्र लगाएँ।

8. अनुपात से जुड़े मुख्य प्रकार के प्रश्न

प्रकार 1: दोनों पदों में संख्या जोड़ना

5 : 9 के दोनों पदों में कौन सी संख्या जोड़ने पर अनुपात 3 : 5 हो जाएगा?
(5 + x)/(9 + x) = 3/5
25 + 5x = 27 + 3x → 2x = 2 → x = 1

प्रकार 2: आय और व्यय का अनुपात

आय : व्यय = 7 : 5 है और बचत ₹4000 है। आय?
बचत = 7 − 5 = 2 भाग = 4000 → 1 भाग = 2000
आय = 7 × 2000 = ₹14,000

प्रकार 3: LCM और अनुपात

दो संख्याओं का अनुपात 3 : 4 है और LCM 48 है। संख्याएँ?
संख्याएँ 3k और 4k, LCM = 12k = 48 → k = 4
संख्याएँ = 12 और 16

प्रकार 4: अनुपात का मान ज्ञात करना

यदि x : y = 3 : 4 हो, तो (2x + 3y) : (3x + y) = ?
x = 3, y = 4 लें: (6 + 12) : (9 + 4) = 18 : 13

प्रकार 5: आयु का प्रश्न

दो व्यक्तियों की आयु का अनुपात 3 : 5 है और योग 80 वर्ष है। आयु?
योग = 8 भाग = 80 → 1 भाग = 10
आयु = 30 और 50 वर्ष

9. सीधा और व्युत्क्रम समानुपात (Direct and Inverse Variation)

सीधा समानुपात (Direct)

एक राशि बढ़ने पर दूसरी राशि भी उसी अनुपात में बढ़े।

उदाहरण: 5 पेन की कीमत ₹60 है, तो 8 पेन की कीमत?
5 : 60 :: 8 : x → x = (60 × 8)/5 = ₹96

व्युत्क्रम समानुपात (Inverse)

एक राशि बढ़ने पर दूसरी राशि घटे। (गुणनफल स्थिर रहता है।)

उदाहरण: 6 आदमी एक काम को 10 दिन में करते हैं, तो 4 आदमी कितने दिन में करेंगे?
6 × 10 = 4 × x → x = 60/4 = 15 दिन

10. परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण ट्रिक्स

• अनुपात में पहले दोनों राशियों की इकाई एक करें।
• तीन राशियों का अनुपात बनाते समय मध्य राशि को समान करें।
• k विधि अपनाएँ। अनुपात 3 : 4 है, तो संख्याएँ 3k और 4k लें।
• a/b = c/d दिखे और (a + b), (a − b) पूछे जाएँ, तो योगांतरानुपात लगाएँ।
• बँटवारे में हमेशा पहले अनुपात का योग निकालें।

11. अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

1. ₹900 को 2 : 3 : 4 में बाँटें।
2. A : B = 3 : 4 और B : C = 5 : 6 हो, तो A : B : C = ?
3. 9 और 12 का तृतीयानुपाती ज्ञात करें।
4. 2, 5, 8 का चतुर्थानुपाती ज्ञात करें।
5. 9 और 25 का मध्यानुपाती ज्ञात करें।
6. 5 : 6 और 7 : 9 में कौन बड़ा है?
7. 7 : 11 के दोनों पदों में कौन सी संख्या जोड़ने पर अनुपात 3 : 4 होगा?
8. दो व्यक्तियों की आयु का अनुपात 4 : 5 है। 5 वर्ष बाद अनुपात 5 : 6 हो जाएगा। वर्तमान आयु?
9. 8 आदमी एक काम 12 दिन में करते हैं, तो 6 आदमी कितने दिन में करेंगे?
10. यदि a/b = 5/3 हो, तो (a + b)/(a − b) = ?

उत्तर:

1. ₹200, ₹300, ₹400
2. 15 : 20 : 24
3. 16
4. 20
5. 15
6. 5 : 6 बड़ा है (5 × 9 = 45 > 6 × 7 = 42)
7. 5
8. 20 वर्ष और 25 वर्ष
9. 16 दिन
10. 4

निष्कर्ष

अनुपात एवं समानुपात का अध्याय जितना सरल दिखता है, उतना ही इसका उपयोग आगे के अध्यायों में होता है। k विधि, योगांतरानुपात और सीधे-व्युत्क्रम समानुपात का अभ्यास करें, तो SSC, Bank, Railway और RPSC में इस अध्याय के प्रश्न आपके पक्के अंक बनेंगे।